[latexpage]
Soal Latihan Prinsip Sarang Merpati
Soal 1:
Terdapat $51$ bilangan yang dipilih dari bilangan bulat antara $1$ dan $100$ secara inklusif. Buktikkan bahwa terdapat $2$ bilangan yang dipilih adalah berurutan.
Soal 2:
Diberikan himpunan $A$ yang terdiri atas $20$ bilangan yang diambil dari himpunan $S=\{1,4,7,\ldots,100\}$. Buktikkan bahwa setidaknya ada $2$ bilangan yang dipilih dari $A$ berjumlah $104$.
Soal 3:
Diberikan himpunan $A \subset \{ 1,2,3,4,5,6,7,8,9\}$ dengan $1\in A$ dan $|A| = 5$
1. Buktikkan bahwa pasti ada dua anggota (berbeda) dari $A$ yang jumlahnya habis dibagi $2$;
2. Buktikkan bahwa pasti ada dua anggota (berbeda) dari $A$ yang jumlahnya habis dibagi $3$;
3. Selidiki apakah pasti ada dua anggota (berbeda) dari $A$ yang jumlahnya habis dibagi $6$. Jika tidak, berikan penyangkalnya;
4. Jika diberikan himpunan $B \subseteq \{1,2,3,4,5,6,7,8,9\}$ dengan $1\in B$ dan $|B| = n.$ Tentukan bilangan terkecil $n$ sehingga pasti ada dua anggota (berbeda) dari $B$ yang jumlahnya habis dibagi $6$.
Soal 4:
Diberikan himpunan $$\displaystyle A = \Big\{a_{n}|a_{n} = \binom{2021}{n},n=0,1,2,\ldots,1010\Big\}.$$ Buktikkan bahwa ada sedikitnya $253$ anggota $A$ yang mempunyai sisa yang sama ketika dibagi $4$.
Soal 5:
Diketahui $A=\{1,2,3,4,5,6\}$. Untuk masing-masing $i=1,2,\ldots,2021,$
$$f_{i} : A \rightarrow A $$
fungsi bijektif. Apakah benar terdapat $1\leq i<j<k\leq 2021$ yang memenuhi $f_{i}=f_{j}=f_{k}?$ Jelaskan!
Komentar