[latexpage]

Soal Diberikan barisan $(a_{n})$ yang memenuhi relasi rekurensi
\begin{equation*}
a_{n}=n^{2}a_{n-1}+(n-1)\cdot n!
\end{equation*}
untuk setiap $n\geq 1$ dan dengan suku awal $a_{0}=6$. Dengan menggunakan fungsi pembangkit, tentukan formula untuk $a_{n}$.

Pembahasan

Dibentuk barisan $\{b_{n}\}_{n\geq 0}$ dengan
\begin{equation*}
b_{n}=\displaystyle \frac{a_{n}}{n!}
\end{equation*}
untuk setiap $n\geq 0$.
Diperhatikan bahwa untuk $n\geq 1$ berlaku
\begin{equation*}
\begin{split}
a_{n}&=n^{2}a_{n-1}+(n-1)\cdot n!\\
(n!)^{2}b_{n}&=n^{2}((n-1)!)^{2}b_{n-1}+(n-1)\cdot n!\\
n!b_{n}&=n!b_{n-1}+(n-1)\\
b_{n}&=b_{n-1}+\displaystyle \frac{n-1}{n!}
\end{split}
\end{equation*}
dan $b_{0}=a_{0}=6$.
\newline
Selanjutnya, misalkan $B(x)$ adalah fungsi pembangkit untuk barisan $\{b_{n}\}_{n\geq 0}$. Dengan demikian
\begin{equation*}
\begin{split}
B(x)&=\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}b_{n}x^{n}\\
B(x)&=b_{0}+\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}b_{n}x^{n}\\
B(x)&=6+\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(b_{n-1}+\displaystyle \frac{n-1}{n!}\right)x^{n}\\
B(x)&=6+\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}b_{n-1}x^{n}+\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(\displaystyle \frac{n-1}{n!}\right)x^{n}\\
B(x)&=6+x\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}b_{n-1}x^{n-1}+\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(\displaystyle \frac{n-1}{n!}\right)x^{n}\\
B(x)&=6+x\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}b_{n}x^{n}+\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(\displaystyle \frac{n}{n!}\right)x^{n}-\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(\displaystyle \frac{1}{n!}\right)x^{n}\\
B(x)&=6+x\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}b_{n}x^{n}+x\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(\displaystyle \frac{1}{(n-1)!}\right)x^{n-1}-\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(\displaystyle \frac{1}{n!}\right)x^{n}\\
B(x)&=6+xB(x)+x\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}\left(\displaystyle \frac{1}{n!}\right)x^{n}-\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(\displaystyle \frac{1}{n!}\right)x^{n}\\
(1-x)B(x)&=6+xe^{x}-(\displaystyle e^{x}-1)\\
(1-x)B(x)&=6+xe^{x}-e^{x}+1\\
(1-x)B(x)&=7+(x-1)e^{x}\\
B(x)&=\displaystyle \frac{7}{1-x}-e^{x}
\end{split}
\end{equation*}
Dengan demikian diperoleh $b_{n}=7-\displaystyle \frac{1}{n!}$ untuk setiap $n\geq 0$.
\newline
Mengingat \begin{equation*}
b_{n}=\displaystyle \frac{a_{n}}{n!}
\end{equation*}
untuk setiap $n\geq 0$, diperoleh
$$a_{n}=(n!)^{2}b_{n}=(n!)^{2}\left(7-\displaystyle \frac{1}{n!}\right)=7(n!)^{2}-n!$$ read more

[latexpage]

Soal Diberikan barisan Fibonacci $(F_{n})$ dengan $F_{0}=0$ dan $F_{1}=1$

[latexpage]

Soal Solve the recurrence relation $$a_{n}=3a_{n-1}-2a_{n-2}+4n\cdot 3^{n},$$ with initial conditions $a_{0} = -44, a_{1} = -78$.

Pembahasan

Diberikan relasi rekurensi $$a_{n}=3a_{n-1}-2a_{n-2}+4n\cdot 3^{n},$$ dengan nilai awal $a_{0} = -44, a_{1} = -78$.
Diperhatikan bahwa polinomial karakteristik rekurensi linear homogen yang berkorespondensi dengan relasi rekurensi tersebut adalah
$$p(x)=x^{2}-3x+2=(x-1)(x-2)$$
dengan akar-akarnya adalah $1$ dan $2$. Dengan demikian solusi homogennya mempunyai bentuk
$$a_{n}^{(h)}=A+B2^{n}$$ untuk suatu bilangan real $A$ dan $B$. read more

[latexpage]

Aljabar linear adalah bidang studi matematika yang mempelajari sistem persamaan linear dan solusinya, vektor, serta transformasi linear. Matriks dan operasinya juga merupakan hal yang berkaitan erat dengan bidang aljabar linear.

Berikut ini beberapa jurnal khusus yang memuat artikel terkait aljabar linear:

1. Linear Algebra and its Applications
2. The Electronic Journal of Linear Algebra

Beberapa artikel civitas akademika UGM terkait aljabar linear:

Representasi Nilai Eigen Matriks atas Aljabar Maks-Plus Tersimetri dengan ELCP read more

Fakultas yang mengasuh Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam di Universitas Gadjah Mada diresmikan berdirinya pada tanggal 19 September 1955 dengan Surat Keputusan Menteri Pendidikan, Pengajaran dan Kebudayaan tanggal 15 September 1955 nomor 53759/Kab. Saat ini kampus FMIPA dijadikan satu yang berada di Sekip Utara Bulaksumur Yogyakarta. Di video ini kita akan diajak oleh salah satu mahasiswa matematika, yaitu Silvina Rosita Yulianti untuk keliling FMIPA UGM.

[embedyt] https://www.youtube.com/watch?v=CkD4bRT9wdI[/embedyt] read more

[embedyt] https://www.youtube.com/watch?v=yufl3XIxlgw[/embedyt]

[latexpage]

Soal Diberikan barisan $\{a_{n}\}$ dengan relasi rekurensi $a_{n+2}=4a_{n+1}-4a_{n}$ untuk $n\geq 0$ dan nilai awal $a_{0}=3$ dan $a_{1}=7$. Tentukan formula untuk $a_n$.

Pembahasan

Persamaan karakteristik yang bersesuaian adalah $p(x) = x^{2}-4x+4$. Diperoleh $k = 2$, $m_{1} = 2$, $r_{1} = 2$ yang menghasilkan
\[ a_{n} = (A_{0}+A_{1}n)2^{n} .\]
Dari nilai awal, ketika disubstitusi menjadi
\begin{equation*}
\begin{split}
3 = a_{0} &= A_{0}\\
10= a_{1}&=2A_{0}+2A_{1}.
\end{split}
\end{equation*}
Diperoleh
\begin{equation*}
A_{0}=3~\text{dan}~A_{1}=2.
\end{equation*}
Jadi $a_{n}=(A_{0}+A_{1}n)2^{n}=(3+2n)2^{n}=3\cdot2^{n}+n\cdot2^{n+1}$ untuk setiap $n\geq 0$. read more

[embedyt] https://www.youtube.com/watch?v=yufl3XIxlgw[/embedyt]

[latexpage]

Soal Diberikan barisan $\{a_{n}\}$ dengan relasi rekurensi $a_{n+2}=2a_{n+1}-a_{n}$ untuk $n\geq 0$ dan nilai awal $a_{0}=3$ dan $a_{1}=7$. Tentukan formula untuk $a_n$.

Pembahasan

Dapat dilihat persamaan karakteristik yang memenuhi adalah $p(x) = x^{2}-2x+1$. Diperoleh $k = 2$, $m_{1} = 2$, $r_{1} = 1.$ Hal ini mengakibatkan

\[ a_{n} = (A_{0}+A_{1}n)1^{n} .\]

\begin{equation*}
\begin{split}
3 = a_{0} &= A_{0}\\
7= a_{1}&=A_{0}+A_{1}.
\end{split}
\end{equation*}
Diperoleh
\begin{equation*}
A_{0}=3~\text{dan}~A_{1}=4 .
\end{equation*}
Jadi $a_{n}=(A_{0}+A_{1}n)1^{n}=3+4n$ untuk setiap $n\geq 0.$ read more

[embedyt] https://www.youtube.com/watch?v=yufl3XIxlgw[/embedyt]

[latexpage]

Soal Diberikan barisan $\{a_{n}\}$ dengan relasi rekurensi $a_{n + 2} = 5a_{n+1}-4a_{n}$ untuk $n\geq 0$ dan $a_{0} = 1$, $a_{2}=7$. Tentukan formula untuk $a_n$.

Jawaban

Persamaan karakteristik yang dihasilkan adalah $p(x) = x^{2}-5x+4$. Diperoleh $k = 2$, $m_{1} =m_{2}= 1$, $r_{1} = 1$ dan $r_{2}=4$. Jadi formula untuk $a_n$ adalah
\[ a_{n} = A_{1}1^{n}+A_{2}4^{n} \]
Dengan mensubstitusi nilai awal akan dihasilkan
\begin{equation*}
\begin{split}
1 = a_{0} &= A_{1}+A_{2}\\
7= a_{1}&=A_{1}+4A_{2}.
\end{split}
\end{equation*}
Diperoleh
\begin{equation*}
A_{1}=-1~\text{dan}~A_{2}=2.
\end{equation*}
Jadi $a_{n}=(-1)\cdot1^{n}+2\cdot 4^{n}=2\cdot 4^{n}-1$ untuk setiap $n\geq 0.$ read more

[embedyt] https://www.youtube.com/watch?v=yufl3XIxlgw[/embedyt]

[latexpage]

Soal Diambil barisan Fibonacci $\{ F_{n} \} = 0,1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, \ldots$. Tentukan formula untuk $F_n$!

Pembahasan

Perhatikan bahwa relasi rekurensi yang dipenuhi adalah $F_{n + 2} = F_{n + 1} + F_{n}$. Selanjutnya dapat dicek juga persamaan polinomial yang dipenuhi adalah
\[ x^{2} – x – 1  .\]
Jadi ketika dihitung akar-akar karakteristiknya akan menghasilkan
\[ r_{1}, r_{2} = \frac{1 \pm \sqrt{1 – 4(-1)}}{2} = \frac{1}{2} \pm\frac{\sqrt{5}}{2} .\]
Jadi $k = 2$ dengan $m_{1} = 1 = m_{2}$. Jika dikembalikan ke rumus umumnya menghasilkan
\[ F_{n} = A_{1}r_{1}^{n} + A_{2}r_{2}^{n} = A_{1}\left(\frac{1}{2} – \frac{\sqrt{5}}{2}\right)^{n} + A_{2}\left(\frac{1}{2} +\frac{\sqrt{5}}{2}\right)^{n} .\] read more

[embedyt] https://www.youtube.com/watch?v=yufl3XIxlgw[/embedyt]

[latexpage]

Soal: Diberikan barisan $\{a_{n}\}$ dengan relasi rekurensi $a_{n + 1} = 2a_{n}$ dan $a_{0} = 1$. Carilah formula dari $a_n$!

Pembahasan:

Persamaan karakteristik $p(x) = x – 2$. Diperoleh $k = 1$, $m_{1} = 1$, dan $r_{1} = 2$. Jadi,

\[ a_{n} = A_{1}2^{n} .\]
Dari nilai awal ketika disubstitusi diperoleh
\[ n = 0 \mapsto 1 = a_{0} = A_{1}2^{0} \Longrightarrow A_{1} = 1 .\]
Hal ini mengakibatkan formula untuk $a_n$ adalah

\[ a_{n} = 1\cdot 2^{n} = 2^{n} \] read more