[latexpage]
Soal Diberikan barisan $(a_{n})$ yang memenuhi relasi rekurensi
\begin{equation*}
a_{n}=n^{2}a_{n-1}+(n-1)\cdot n!
\end{equation*}
untuk setiap $n\geq 1$ dan dengan suku awal $a_{0}=6$. Dengan menggunakan fungsi pembangkit, tentukan formula untuk $a_{n}$.
Pembahasan
Dibentuk barisan $\{b_{n}\}_{n\geq 0}$ dengan
\begin{equation*}
b_{n}=\displaystyle \frac{a_{n}}{n!}
\end{equation*}
untuk setiap $n\geq 0$.
Diperhatikan bahwa untuk $n\geq 1$ berlaku
\begin{equation*}
\begin{split}
a_{n}&=n^{2}a_{n-1}+(n-1)\cdot n!\\
(n!)^{2}b_{n}&=n^{2}((n-1)!)^{2}b_{n-1}+(n-1)\cdot n!\\
n!b_{n}&=n!b_{n-1}+(n-1)\\
b_{n}&=b_{n-1}+\displaystyle \frac{n-1}{n!}
\end{split}
\end{equation*}
dan $b_{0}=a_{0}=6$.
\newline
Selanjutnya, misalkan $B(x)$ adalah fungsi pembangkit untuk barisan $\{b_{n}\}_{n\geq 0}$. Dengan demikian
\begin{equation*}
\begin{split}
B(x)&=\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}b_{n}x^{n}\\
B(x)&=b_{0}+\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}b_{n}x^{n}\\
B(x)&=6+\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(b_{n-1}+\displaystyle \frac{n-1}{n!}\right)x^{n}\\
B(x)&=6+\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}b_{n-1}x^{n}+\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(\displaystyle \frac{n-1}{n!}\right)x^{n}\\
B(x)&=6+x\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}b_{n-1}x^{n-1}+\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(\displaystyle \frac{n-1}{n!}\right)x^{n}\\
B(x)&=6+x\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}b_{n}x^{n}+\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(\displaystyle \frac{n}{n!}\right)x^{n}-\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(\displaystyle \frac{1}{n!}\right)x^{n}\\
B(x)&=6+x\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}b_{n}x^{n}+x\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(\displaystyle \frac{1}{(n-1)!}\right)x^{n-1}-\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(\displaystyle \frac{1}{n!}\right)x^{n}\\
B(x)&=6+xB(x)+x\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}\left(\displaystyle \frac{1}{n!}\right)x^{n}-\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(\displaystyle \frac{1}{n!}\right)x^{n}\\
(1-x)B(x)&=6+xe^{x}-(\displaystyle e^{x}-1)\\
(1-x)B(x)&=6+xe^{x}-e^{x}+1\\
(1-x)B(x)&=7+(x-1)e^{x}\\
B(x)&=\displaystyle \frac{7}{1-x}-e^{x}
\end{split}
\end{equation*}
Dengan demikian diperoleh $b_{n}=7-\displaystyle \frac{1}{n!}$ untuk setiap $n\geq 0$.
\newline
Mengingat \begin{equation*}
b_{n}=\displaystyle \frac{a_{n}}{n!}
\end{equation*}
untuk setiap $n\geq 0$, diperoleh
$$a_{n}=(n!)^{2}b_{n}=(n!)^{2}\left(7-\displaystyle \frac{1}{n!}\right)=7(n!)^{2}-n!$$
Credit: Iwan Ernanto
Video Penjelasan:
[embedyt] https://www.youtube.com/watch?v=yufl3XIxlgw[/embedyt]