Pembahasan Soal 1 Prinsip Inklusi-Eksklusi

[embedyt] https://www.youtube.com/watch?v=yufl3XIxlgw[/embedyt]

File Tayangan

[latexpage]

Soal: Tentukan banyaknya bilangan bulat dari $1$ hingga $2021$ yang tidak habis dibagi $4,6,$ dan $9.$

Pembahasan:

Dinotasikan himpunan :
\begin{align*}
\begin{cases}
A &= \{x\in\mathbb{Z}\mid 1 \leq x \leq 2021, \textit{x} \ \text{habis dibagi} \ 4 \} \\
B &= \{x\in\mathbb{Z}\mid 1 \leq x \leq 2021, \textit{x} \ \text{habis dibagi} \ 6\} \\
C &= \{x\in\mathbb{Z}\mid 1 \leq x \leq 2021, \textit{x} \ \text{habis dibagi} \ 9\}
\end{cases}
\end{align*}
Akan ditentukan banyaknya bilangan bulat antara $1$ dan $2021$ yang tidak habis dibagi $4,6$, dan $9$, yaitu $|A^{c} \cup B^{c} \cup C^{c}|$.
Diperoleh,
\begin{align*}
|A| &= \lfloor\frac{2021}{4}\rfloor =505 & |B| &= \lfloor\frac{2021}{6}\rfloor = 336\\
|C| &= \lfloor\frac{2021}{9}\rfloor = 224 & |A\cap B| &= \lfloor\frac{2021}{12}\rfloor = 168 \\
|B\cap C| &= \lfloor\frac{2021}{18}\rfloor = 224 & |A\cap C| &= \lfloor\frac{2021}{36}\rfloor = 56 \\
|A\cap B \cap C| &= \lfloor\frac{2021}{36}\rfloor = 56 & |S| = 2019
\end{align*}
Dengan menggunakan Prinsip Inklusi-Eksklusi, diperoleh
\begin{align*}
|A^{c} \cup B^{c} \cup C^{c}| &= |S| – \Bigg(|A|+|B|+|C|-\Big(|A\cap B|+|A\cap C|+|B \cap C|\Big)+|A\cap B \cap C|\Bigg) \\
&= 1234.
\end{align*}

 

Credit: Fadhlan Zhaahiran