Arsip 2021:

Oktober

Pembahasan Soal 1 Fungsi Pembangkit

Tutorial Jumat, 29 Oktober 2021

Soal Diberikan barisan (a_{n}) yang memenuhi relasi rekurensi

    \begin{equation*} a_{n}=n^{2}a_{n-1}+(n-1)\cdot n! \end{equation*}

untuk setiap n\geq 1 dan dengan suku awal a_{0}=6. Dengan menggunakan fungsi pembangkit, tentukan formula untuk a_{n}.

Pembahasan

Dibentuk barisan \{b_{n}\}_{n\geq 0} dengan

    \begin{equation*} b_{n}=\displaystyle \frac{a_{n}}{n!} \end{equation*}

untuk setiap n\geq 0.
Diperhatikan bahwa untuk n\geq 1 berlaku

    \begin{equation*} \begin{split} a_{n}&=n^{2}a_{n-1}+(n-1)\cdot n!\\ (n!)^{2}b_{n}&=n^{2}((n-1)!)^{2}b_{n-1}+(n-1)\cdot n!\\ n!b_{n}&=n!b_{n-1}+(n-1)\\ b_{n}&=b_{n-1}+\displaystyle \frac{n-1}{n!} \end{split} \end{equation*}

dan b_{0}=a_{0}=6.
\newline
Selanjutnya, misalkan B(x) adalah fungsi pembangkit untuk barisan \{b_{n}\}_{n\geq 0}. Dengan demikian

    \begin{equation*} \begin{split} B(x)&=\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}b_{n}x^{n}\\ B(x)&=b_{0}+\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}b_{n}x^{n}\\ B(x)&=6+\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(b_{n-1}+\displaystyle \frac{n-1}{n!}\right)x^{n}\\ B(x)&=6+\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}b_{n-1}x^{n}+\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(\displaystyle \frac{n-1}{n!}\right)x^{n}\\ B(x)&=6+x\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}b_{n-1}x^{n-1}+\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(\displaystyle \frac{n-1}{n!}\right)x^{n}\\ B(x)&=6+x\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}b_{n}x^{n}+\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(\displaystyle \frac{n}{n!}\right)x^{n}-\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(\displaystyle \frac{1}{n!}\right)x^{n}\\ B(x)&=6+x\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}b_{n}x^{n}+x\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(\displaystyle \frac{1}{(n-1)!}\right)x^{n-1}-\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(\displaystyle \frac{1}{n!}\right)x^{n}\\ B(x)&=6+xB(x)+x\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}\left(\displaystyle \frac{1}{n!}\right)x^{n}-\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(\displaystyle \frac{1}{n!}\right)x^{n}\\ (1-x)B(x)&=6+xe^{x}-(\displaystyle e^{x}-1)\\ (1-x)B(x)&=6+xe^{x}-e^{x}+1\\ (1-x)B(x)&=7+(x-1)e^{x}\\ B(x)&=\displaystyle \frac{7}{1-x}-e^{x} \end{split} \end{equation*}

Dengan demikian diperoleh b_{n}=7-\displaystyle \frac{1}{n!} untuk setiap n\geq 0.
\newline
Mengingat read more

Pembahasan Soal 6 Relasi Rekurensi

Tutorial Jumat, 29 Oktober 2021

Soal Solve the recurrence relation

    \[a_{n}=3a_{n-1}-2a_{n-2}+4n\cdot 3^{n},\]

with initial conditions a_{0} = -44, a_{1} = -78.

Pembahasan

Diberikan relasi rekurensi

    \[a_{n}=3a_{n-1}-2a_{n-2}+4n\cdot 3^{n},\]

dengan nilai awal a_{0} = -44, a_{1} = -78.
Diperhatikan bahwa polinomial karakteristik rekurensi linear homogen yang berkorespondensi dengan relasi rekurensi tersebut adalah

    \[p(x)=x^{2}-3x+2=(x-1)(x-2)\]

dengan akar-akarnya adalah 1 dan 2. Dengan demikian solusi homogennya mempunyai bentuk

    \[a_{n}^{(h)}=A+B2^{n}\]

untuk suatu bilangan real A dan B.

Selanjutnya, mengingat f(n)=4n\cdot 3^{n} dan 3 bukan akar dari polinomial karakteristik p(x), maka solusi parsialnya mmiliki bentuk read more

Aljabar Linear

Uncategorized Rabu, 13 Oktober 2021

Aljabar linear adalah bidang studi matematika yang mempelajari sistem persamaan linear dan solusinya, vektor, serta transformasi linear. Matriks dan operasinya juga merupakan hal yang berkaitan erat dengan bidang aljabar linear.

Berikut ini beberapa jurnal khusus yang memuat artikel terkait aljabar linear:

  1. Linear Algebra and its Applications
  2. The Electronic Journal of Linear Algebra

Beberapa artikel civitas akademika UGM terkait aljabar linear:

2020,

Representasi Nilai Eigen Matriks atas Aljabar Maks-Plus Tersimetri dengan ELCP read more