Pembahasan Soal 7 Induksi Matematika

Tutorial Sabtu, 15 April 2023

File Tayangan

Soal: Buktikan 4 \times 2^n | a^{2^n}-1, untuk setiap a bilangan ganjil dan n \in \mathbb{N}.

Pembahasan:

Karena a bilangan ganjil, maka a dapat dinyatakan 2p-1, \forall p \in \mathbb{N}. Maka Soal dapat ditulis menjadi 2^{n+2} | (2p-1)^{2^n}-1.

Pertama-tama akan ditunjukkan (2p-1)^{2^k}+1 adalah bilangan genap.
Bukti : \forall k \in \mathbb{N}, 2^k selalu genap sehingga \forall p \in \mathbb{N} (2p-1)^{2^k} Selalu ganjil. Jadi dapat disimpulkan (2p-1)^{2^k}+1 bilangan genap, dinyatakan dalam 2y.

Selanjutnya permasalahan utama akan dibuktikan benar dengan metode induksi.

Bukti :

Akan dibuktikan benar untuk n=1.

    \[2^{1+2} | (2p-1)^{2^1}-1 \Leftrightarrow 2^{3} | 4p^2 - 4p$ \Leftrightarrow 2^{3} | 4p(p - 1).\]

Terbukti, sebab p \in \mathbb{N} maka p(p-1)\ge 0 dan genap.

  • Asumsikan benar untuk n=k. Jadi

        \[2^{k+2} | (2p-1)^{2^k}-1.\] read more