Pembahasan Soal 1 Fungsi Pembangkit

Soal Diberikan barisan (a_{n}) yang memenuhi relasi rekurensi

    \begin{equation*} a_{n}=n^{2}a_{n-1}+(n-1)\cdot n! \end{equation*}

untuk setiap n\geq 1 dan dengan suku awal a_{0}=6. Dengan menggunakan fungsi pembangkit, tentukan formula untuk a_{n}.

Pembahasan

Dibentuk barisan \{b_{n}\}_{n\geq 0} dengan

    \begin{equation*} b_{n}=\displaystyle \frac{a_{n}}{n!} \end{equation*}

untuk setiap n\geq 0.
Diperhatikan bahwa untuk n\geq 1 berlaku

    \begin{equation*} \begin{split} a_{n}&=n^{2}a_{n-1}+(n-1)\cdot n!\\ (n!)^{2}b_{n}&=n^{2}((n-1)!)^{2}b_{n-1}+(n-1)\cdot n!\\ n!b_{n}&=n!b_{n-1}+(n-1)\\ b_{n}&=b_{n-1}+\displaystyle \frac{n-1}{n!} \end{split} \end{equation*}

dan b_{0}=a_{0}=6.
\newline
Selanjutnya, misalkan B(x) adalah fungsi pembangkit untuk barisan \{b_{n}\}_{n\geq 0}. Dengan demikian

    \begin{equation*} \begin{split} B(x)&=\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}b_{n}x^{n}\\ B(x)&=b_{0}+\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}b_{n}x^{n}\\ B(x)&=6+\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(b_{n-1}+\displaystyle \frac{n-1}{n!}\right)x^{n}\\ B(x)&=6+\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}b_{n-1}x^{n}+\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(\displaystyle \frac{n-1}{n!}\right)x^{n}\\ B(x)&=6+x\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}b_{n-1}x^{n-1}+\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(\displaystyle \frac{n-1}{n!}\right)x^{n}\\ B(x)&=6+x\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}b_{n}x^{n}+\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(\displaystyle \frac{n}{n!}\right)x^{n}-\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(\displaystyle \frac{1}{n!}\right)x^{n}\\ B(x)&=6+x\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}b_{n}x^{n}+x\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(\displaystyle \frac{1}{(n-1)!}\right)x^{n-1}-\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(\displaystyle \frac{1}{n!}\right)x^{n}\\ B(x)&=6+xB(x)+x\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}\left(\displaystyle \frac{1}{n!}\right)x^{n}-\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(\displaystyle \frac{1}{n!}\right)x^{n}\\ (1-x)B(x)&=6+xe^{x}-(\displaystyle e^{x}-1)\\ (1-x)B(x)&=6+xe^{x}-e^{x}+1\\ (1-x)B(x)&=7+(x-1)e^{x}\\ B(x)&=\displaystyle \frac{7}{1-x}-e^{x} \end{split} \end{equation*}

Dengan demikian diperoleh b_{n}=7-\displaystyle \frac{1}{n!} untuk setiap n\geq 0.
\newline
Mengingat

    \begin{equation*} b_{n}=\displaystyle \frac{a_{n}}{n!} \end{equation*}

untuk setiap n\geq 0, diperoleh

    \[a_{n}=(n!)^{2}b_{n}=(n!)^{2}\left(7-\displaystyle \frac{1}{n!}\right)=7(n!)^{2}-n!\]

 

Credit: Iwan Ernanto

 

Video Penjelasan:

Leave A Comment

Alamat email Anda tidak akan dipublikasikan.

*