• UGM
  • IT Center
  • Bahasa Indonesia
    • English
    • Bahasa Indonesia
Universitas Gadjah Mada Universitas Gadjah Mada
Menara Ilmu Matematika Diskrit
  • BERANDA
  • TENTANG
    • OVERVIEW WEBSITE
    • TIM PENGEMBANG
  • Materi
    • LOGIKA MATEMATIKA
    • PEMBUKTIAN MATEMATIKA
    • HIMPUNAN
    • RELASI
    • FUNGSI DISKRIT NUMERIK
    • INDUKSI MATEMATIKA
    • PRINSIP INKLUSI DAN EKSKLUSI
    • PERMUTASI DAN KOMBINASI
    • TEOREMA BINOMIAL
    • PRINSIP SARANG MERPATI
    • ALGORITMA
    • FUNGSI PEMBANGKIT
    • RELASI REKURENSI
    • BILANGAN FIBONACCI
    • POSET
    • LATIS
    • ALJABAR BOOLE
    • PERSAMAAN DIOPHANTINE
    • RING DAN LAPANGAN
    • LAPANGAN GALOIS
    • GEOMETRI BIDANG HINGGA
    • PERSEGI LATIN
    • BALANCED INCOMPLETE BLOCK DESIGN
    • STEINER TRIPLE SYSTEM
    • TEORI BILANGAN DASAR
    • TEORI GRAF
    • POHON
  • Tutorial
    • Rekaman Latihan Soal
    • Tutorial Logika Matematika
    • Tutorial Pembuktian Matematika
    • Tutorial Himpunan
    • Tutorial Relasi
    • Tutorial Fungsi Diskrit Numerik
    • Tutorial Induksi Matematika
    • Tutorial Prinsip Inklusi dan Eksklusi
    • Tutorial Permutasi dan Kombinasi
    • Tutorial Teorema Binomial
    • Tutorial Prinsip Sarang Merpati
    • Tutorial Algoritma
    • Tutorial Fungsi Pembangkit
    • Tutorial Relasi Rekurensi
    • Tutorial Bilangan Fibonacci
    • Tutorial Poset
    • Tutorial Latis
    • Tutorial Aljabar Boole
    • Tutorial Persamaan Diophantine
    • Tutorial Ring dan Lapangan
    • Tutorial Lapangan Galois
    • Tutorial Geometri Bidang Hingga
    • Tutorial Persegi Latin
    • Tutorial Balanced Incomplete Block Design
    • Tutorial Steiner Triple System
    • Tutorial Teori Bilangan Dasar
    • Tutorial Teori Graf
    • Tutorial Pohon
  • PENELITIAN TERKAIT
    • TEORI PARTISI
    • TEORI GRAF
    • KRIPTOGRAFI
    • TEORI KODING
    • ALJABAR LINEAR
  • KONTAK KAMI
  • Beranda
  • Tutorial
  • Pembahasan Soal 1 Fungsi Pembangkit

Pembahasan Soal 1 Fungsi Pembangkit

  • Tutorial
  • 29 Oktober 2021, 15.46
  • Oleh: isnainiuha
  • 0

Soal Diberikan barisan (a_{n}) yang memenuhi relasi rekurensi

    \begin{equation*} a_{n}=n^{2}a_{n-1}+(n-1)\cdot n! \end{equation*}

untuk setiap n\geq 1 dan dengan suku awal a_{0}=6. Dengan menggunakan fungsi pembangkit, tentukan formula untuk a_{n}.

Pembahasan

Dibentuk barisan \{b_{n}\}_{n\geq 0} dengan

    \begin{equation*} b_{n}=\displaystyle \frac{a_{n}}{n!} \end{equation*}

untuk setiap n\geq 0.
Diperhatikan bahwa untuk n\geq 1 berlaku

    \begin{equation*} \begin{split} a_{n}&=n^{2}a_{n-1}+(n-1)\cdot n!\\ (n!)^{2}b_{n}&=n^{2}((n-1)!)^{2}b_{n-1}+(n-1)\cdot n!\\ n!b_{n}&=n!b_{n-1}+(n-1)\\ b_{n}&=b_{n-1}+\displaystyle \frac{n-1}{n!} \end{split} \end{equation*}

dan b_{0}=a_{0}=6.
\newline
Selanjutnya, misalkan B(x) adalah fungsi pembangkit untuk barisan \{b_{n}\}_{n\geq 0}. Dengan demikian

    \begin{equation*} \begin{split} B(x)&=\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}b_{n}x^{n}\\ B(x)&=b_{0}+\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}b_{n}x^{n}\\ B(x)&=6+\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(b_{n-1}+\displaystyle \frac{n-1}{n!}\right)x^{n}\\ B(x)&=6+\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}b_{n-1}x^{n}+\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(\displaystyle \frac{n-1}{n!}\right)x^{n}\\ B(x)&=6+x\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}b_{n-1}x^{n-1}+\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(\displaystyle \frac{n-1}{n!}\right)x^{n}\\ B(x)&=6+x\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}b_{n}x^{n}+\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(\displaystyle \frac{n}{n!}\right)x^{n}-\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(\displaystyle \frac{1}{n!}\right)x^{n}\\ B(x)&=6+x\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}b_{n}x^{n}+x\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(\displaystyle \frac{1}{(n-1)!}\right)x^{n-1}-\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(\displaystyle \frac{1}{n!}\right)x^{n}\\ B(x)&=6+xB(x)+x\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}\left(\displaystyle \frac{1}{n!}\right)x^{n}-\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(\displaystyle \frac{1}{n!}\right)x^{n}\\ (1-x)B(x)&=6+xe^{x}-(\displaystyle e^{x}-1)\\ (1-x)B(x)&=6+xe^{x}-e^{x}+1\\ (1-x)B(x)&=7+(x-1)e^{x}\\ B(x)&=\displaystyle \frac{7}{1-x}-e^{x} \end{split} \end{equation*}

Dengan demikian diperoleh b_{n}=7-\displaystyle \frac{1}{n!} untuk setiap n\geq 0.
\newline
Mengingat

    \begin{equation*} b_{n}=\displaystyle \frac{a_{n}}{n!} \end{equation*}

untuk setiap n\geq 0, diperoleh

    \[a_{n}=(n!)^{2}b_{n}=(n!)^{2}\left(7-\displaystyle \frac{1}{n!}\right)=7(n!)^{2}-n!\]

 

Credit: Iwan Ernanto

 

Video Penjelasan:

Leave A Comment Batalkan balasan

Alamat email Anda tidak akan dipublikasikan. Ruas yang wajib ditandai *

*

Artikel Terbaru

  • Pembahasan Soal 4 Lapangan Galois
  • Pembahasan Soal 5 Lapangan Galois
  • Pembahasan Soal 3 Lapangan Galois
  • Pembahasan Soal 2 Lapangan Galois
  • Pembahasan Soal 1 Lapangan Galois

Komentar

  • jiii pada Pembahasan Soal 1 Prinsip Inklusi-Eksklusi
  • jiii pada Pembahasan Soal 1 Prinsip Inklusi-Eksklusi
Universitas Gadjah Mada

Kanal Pengetahuan dan Menara Ilmu

Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam

Universitas Gadjah Mada

Sekip Utara BLS 21 Yogyakarta

© Universitas Gadjah Mada

KEBIJAKAN PRIVASI/PRIVACY POLICY

[EN] We use cookies to help our viewer get the best experience on our website. -- [ID] Kami menggunakan cookie untuk membantu pengunjung kami mendapatkan pengalaman terbaik di situs web kami.I Agree / Saya Setuju